A matematika döntő szerepet játszik a viselkedés és működés megértésében elektromos és elektronikus rendszerek . A polinomok, az algebra, a valószínűség, az integrációk és a differenciálások stb. ... a rendszerek megoldására használt eszközök jelentős részét képezik. A rendszerek növekvő összetettségével nagyon kifinomult módszerekre van szükség. A differenciálegyenleteket kiemelten használják az irányítási rendszerek meghatározásához. Ezeket az egyenleteket egyszerűen meg lehet oldani. De a bonyolultság magasabb rendű differenciálegyenletek megoldása közben merül fel. Az ilyen komplex magasabb rendű differenciálegyenletek megoldásához a hatékonynak bizonyult matematikai módszer az Laplace Transform . Mivel ezt az átalakítást széles körben alkalmazzák, hasznos tudni, hogy valójában mire gondoltak és hogyan működnek.

Mi az a Laplace-transzformáció?

A matematikában transzformációkat alkalmaznak egy változó egyik formából a másikba történő átalakításához, hogy az egyenlet könnyen kezelhető legyen. Laplace átalakul nagyjából ugyanazt csinálja. A magasabb rendű differenciálegyenletet polinom formává alakítják, ami sokkal egyszerűbb, mint a differenciálegyenlet közvetlen megoldása.

De vannak olyan transzformációk, mint a Fourier-transzformáció, z transzformálja, mi teszi a Laplace-transzformációt különlegessé? A Laplace-transzformáció legfőbb előnye, hogy mind stabil, mind instabil rendszerekre vannak meghatározva, míg a Fourier-transzformációk csak stabil rendszerekre vannak meghatározva.

Laplace transzformációs képlet

Az f (t) függvény Laplace-transzformációját egy időtartományban, ahol t a nullánál nagyobb vagy azzal egyenlő valós szám, F (s) -ként adjuk meg, ahol s a komplex szám a frekvenciatartományban. s = σ + jω
A fenti egyenletet úgy tekintjük, mint egyoldalú Laplace-transzformációs egyenlet . Amikor a határokat kiterjesztjük a teljes valós tengelyre, akkor a Kétoldalú Laplace-transzformáció úgy definiálható
Olyan gyakorlati áramkörökben, mint RC és RL áramkörök általában a kezdeti feltételeket alkalmazzák, így elemzés céljából egyoldalas Laplace-transzformációkat alkalmaznak.
Mivel s = σ + jω, amikor σ = 0, Laplace-transzformációk Fourier-transzformációként viselkednek.

“lehúzás vs felhúzó ellenállás ”

Laplace-transzformációs képletek

A Laplace-transzformáció alkalmazhatóságának feltételei

A Laplace-transzformációkat integráltranszformációknak nevezzük, ezért szükségesek ezek a transzformációk konvergenciájához.
azaz f-nek lokálisan integrálhatónak kell lennie a [0, ∞) intervallumig, és attól függően, hogy σ pozitív vagy negatív, e ^ (- σt) bomló vagy növekvő lehet. A kétoldalú Laplace-transzformációk helyett egyetlen érték helyett az integrál konvergál egy bizonyos értéktartományban, amelyet Konvergencia-régiónak nevezünk.

A Laplace Transform tulajdonságai:

Linearitás

Időeltolás

Váltás az S-tartományban

Idő megfordítása

Differenciálás az S-tartományban

Konvolúció az időben

Kezdeti érték tétel

A kezdőérték-tételt akkor alkalmazzuk, amikor a Laplace-transzformációban a számláló mértéke kisebb, mint a nevező mértéke Végső érték tétel:

“létra digitális -analóg átalakító ”

Ha az sF (ek) összes pólusa az S sík végértékének bal felében fekszik, akkor a végtételt alkalmazzuk.

Fordított Laplace transzformáció

A konvergencia miatt a Laplace-transzformációnak inverz transzformációja is van. A Laplace-transzformációk egy-egy leképezést mutatnak be az egyik funkciótérből a másikba. Az inverz Laplace transzformáció képlete az

Hogyan számoljuk ki a Laplace-transzformációt?

A Laplace transzformációval az egyenletek kezelése egyszerűbb. Magasabb rendű differenciálegyenlet megadásakor Laplace-transzformációt alkalmaznak rá, amely az egyenletet algebrai egyenletgé alakítja, ezáltal megkönnyítve annak kezelését. Ezután az algebrai egyenlet egyszerűsítésével kiszámítjuk a gyökereket. Most egyszerűbb kifejezés inverz Laplace-transzformációja található, amely megoldja az adott magasabb rendű differenciálegyenletet.

Laplace-transzformáció számítása

A Laplace Transform alkalmazásai

Elektromos és elektronikus áramkörök .
A bonyolult differenciálegyenletek egyszerűbb polinomformákra bontása.
A Laplace-transzformáció információt nyújt az állandó, valamint a tranziens állapotokról.
A gépi tanulás során a Laplace transzformációt jóslatok készítésére és elemzésre használják az adatbányászatban.
A Laplace-transzformáció egyszerűsíti a számításokat a rendszer modellezésében.

Laplace Transform alkalmazása a jelfeldolgozásban

A Laplace transzformációkat gyakran választják a jelfeldolgozásra. A Fourier-transzformációval együtt a Laplace-transzformáció a frekvenciatartományban lévő jelek tanulmányozására szolgál. Ha a frekvenciatartományban lévő jelben kis frekvenciák vannak, akkor számíthatunk arra, hogy a jel sima lesz az időtartományban. A jel szűrését általában abban a frekvenciatartományban hajtják végre, amelynél a Laplace fontos eszközként szolgál a jel időről frekvenciatartományra történő átalakításához.

Laplace Transform alkalmazása vezérlőrendszerekben

Az irányító rendszereket általában más eszközök viselkedésének vezérlésére tervezték. Például ellenőrzési rendszerek az egyszerű otthoni fűtésszabályozótól az ipari vezérlőrendszerig terjedhet, amely szabályozza a gépek viselkedését.

Általában a vezérlőmérnökök differenciálegyenleteket írnak le a különféle zárt hurkú funkcionális blokkok viselkedésének leírására. A Laplace-transzformációt itt alkalmazzuk ezen egyenletek megoldására a döntő változó információ elvesztése nélkül.

Linear Time-Invariant Systems jellemzése Laplace-transzformációval

A rendszerhez társított alkalmi rendszer ROC esetén a függvény a jobb félsík. Egy rendszer alkalmiellenes, ha impulzusválasza h (t) = 0 t> 0 esetén.

Ha a H (s) rendszerfunkciók ROC-ja tartalmazza a jω tengelyt, akkor az L.T.I. a rendszert stabil rendszernek nevezzük. Ha egy racionális H (s) rendszerfunkcióval rendelkező alkalmi rendszer negatív valós részei vannak az összes pólusának, akkor a rendszer stabil.

Így a Laplace-transzformáció kulcsfontosságú eszköz az áramkörök elemzésében. Mondhatjuk, hogy sztetoszkóp orvosként Laplace átalakításai irányítják a mérnököt. Mit gondolsz a Laplace-átalakításokról? Milyen módon voltak hasznosak számodra?