Elektronok és lyukak alapvető szerepet játszanak a villamos energia átadásában félvezetők . Ezek a részecskék különböző energia szinten vannak elrendezve egy félvezetőben. Az elektronok mozgása egyik energiaszintről a másikra áramot termel . A fém belsejében lévő elektronnak legalább a felületi gát energiájánál nagyobb energiaszinttel kell rendelkeznie ahhoz, hogy magasabb energiaszintre menjen.
Számos tézis javasolt és elfogadott, amelyek magyarázzák az elektronok jellemzőit és viselkedését. De az elektron bizonyos viselkedése, például az emissziós áram függetlensége a hőmérséklettől stb., Továbbra is rejtély maradt. Aztán áttörési statisztika, Fermi Dirac Statisztika , kiadta Enrico Fermi és Paul Dirac 1926-ban segített megoldani ezeket a rejtvényeket.
Akkortól kezdve Fermi Dirac disztribúció a csillag összeomlásának magyarázata egy fehér törpével, a fémek szabad elektronkibocsátásának magyarázata stb.
Fermi Dirac disztribúció
Mielőtt bekerülne a Fermi Dirac eloszlásfüggvény nézzük meg az energia elektronok eloszlása különböző típusú félvezetőkben. A szabad elektron maximális energiája egy anyagban abszolút hőmérsékleten lehet. 0k-nál Fermi energiaszint néven ismert. A Fermi energia értéke különböző anyagoknál változó. A félvezető elektronjainak birtokában lévő energia alapján az elektronok három energia sávba vannak rendezve - Vezetési sáv, Fermi energiaszint, Valencia sáv.
Míg a vezetősáv gerjesztett elektronokat tartalmaz, a vegyértéksáv lyukakat tartalmaz. De mit jelent a Fermi szint? A fermi szint az az energiaállapot, amelynek valószínűsége ½, hogy egy elektron foglalja el. Egyszerűbben fogalmazva: ez az a maximális energiaszint, amelyet egy elektron 0k-nál elérhet, és annak valószínűsége, hogy az elektron abszolút hőmérsékleten e szint fölött megtalálható, abszolút hőmérsékleten 0. Abszolút nulla hőmérsékleten a Fermi-szint fele tele lesz elektronokkal.
A félvezető energia sávdiagramjában a Fermi szint a belső félvezető vezetőképességének és valencia sávjának közepén helyezkedik el. Külső félvezető esetén a Fermi szint a valencia sáv közelében helyezkedik el P típusú félvezető és azért N típusú félvezető , a vezetési sáv közelében fekszik.
A Fermi energiaszintet ezzel jelöljük ISF, a vezetési sávot jelöljük ISC és a vegyérték sávot E-ként jelöljükV.
Fermi szint N és P típusban
Fermi szint N és P típusú félvezetőkben
Fermi Dirac terjesztési funkció
Annak a valószínűségét, hogy a rendelkezésre álló „E” energiaállapotot a T abszolút hőmérsékleten, a hőegyensúly körülményei között egy elektron foglalja el, a Fermi-Dirac függvény adja. A kvantumfizikából a Fermi-Dirac eloszlás kifejezése az
Ahol k a Boltzmann-állandó VAGYNAK NEK , T a hőmérséklet 0NAK NEK és ISF a Fermi energiaszint eV.k = 1,38X10-2. 3J / K
A Fermi-szint 50% -os valószínűséggel képviseli az energiaállapotot, ha nincs tiltott sáv, vagyis ha E = EF azután f (E) = 1/2 a hőmérséklet bármely értékére.
A Fermi-Dirac eloszlás csak az állapot foglaltságának valószínűségét adja meg egy adott energiaszintnél, de nem nyújt információt az ezen az energiaszinten elérhető állapotok számáról.
Fermi Dirac eloszlás és energia sáv diagram
f (E) Vs (E-EF) cselekmény
A fenti ábra a Fermi szint viselkedését mutatja be különböző hőmérsékleti tartományokban T = 00K, T = 3000K, T = 25000NAK NEK. Nál nél T = 0K , a görbe lépésszerű jellemzőkkel rendelkezik.
Nál nél T = 00NAK NEK , az elektronok által elfoglalt összes energiaszint megismerhető a Fermi-Dirac függvény használatával.
Adott energiaszinthez E> EF , a Fermi-Dirac függvényben az exponenciális tag 0-ra változik, és ami azt jelenti, hogy annak valószínűsége, hogy az elfoglalt energiaszintet nagyobbnak találja, mint ISF nulla.
Adott energiaszinthez IS
Az abszolút hőmérsékletnél magasabb hőmérsékletre és E = EF , majd független a hőmérséklet értékétől.
Az abszolút hőmérsékletnél magasabb hőmérsékletre és IS
Az abszolút hőmérsékletnél magasabb hőmérsékletre és E> EF , az exponenciális érték pozitív lesz, és növekszik az E. értékkel. f (E) 0,5-től kezdődik, és az E növekedésével 0 felé csökken.
Fermi Dirac eloszlás Boltzmann közelítés
A Maxwell-Boltzmann eloszlást használják általában Fermi Dirac eloszlás közelítése .
A Fermi-Dirac eloszlást a
Által Maxwell segítségével - Boltzmann-közelítéssel a fenti egyenletet csökkentjük
Ha a hordozó energiája és a Fermi szint közötti különbség nagy, összehasonlítva a nevezőben szereplő 1 kifejezés elhanyagolható. A Fermi-Dirac eloszlás alkalmazásához az elektronnak Pauli kizárólagos elvét kell követnie, amely fontos a magas doppingolásnál. De a Maxwell-Boltzmann-eloszlás elhanyagolja ezt az elvet, így a Maxwell-Boltzmann-közelítés az alacsony dózisú esetekre korlátozódik.
Fermi Dirac és Bose-Einstein statisztika
A Fermi-Dirac statisztika a kvantumstatisztika azon ága, amely leírja a részecskék eloszlását energiaállapotokban, amely azonos részecskéket tartalmaz, betartva a Pauli-kizárási alapelvet. Mivel az F-D statisztikákat a félig egész spinű részecskékre alkalmazzák, ezeket fermionoknak nevezzük.
Az egyensúlyi állapotban termodinamikailag és azonos részecskékből álló rendszer, az I. egyrészecskés állapotban, a fermionok átlagos számát az F-D eloszlás adja meg 
hol van az egyrészecskés állapot én , a teljes kémiai potenciált a következővel jelöljük: nak nekB a Boltzmann-állandó, míg T az abszolút hőmérséklet.
A Bose-Einstein statisztikák ellentétesek az F-D statisztikákkal. Ezt olyan részecskékre alkalmazzák, amelyeknek teljes egésze van vagy nem forog, úgynevezett Bosons. Ezek a részecskék nem engedelmeskednek a Pauli kizárási elvének, ami azt jelenti, hogy ugyanaz a kvantumkonfiguráció egynél több bozonnal tölthető meg.
Az F-D statisztikákat és a Bore-Einstein statisztikákat akkor alkalmazzák, amikor a kvantumhatás fontos, és a részecskék nem különböztethetők meg.
Fermi Dirac eloszlási probléma
Összességében vizsgáljuk meg az energiaszintet, amely 0,11eV a Fermi szint alatt van. Megtalálja annak valószínűségét, hogy ezt a szintet nem foglalja el az elektron?
Fermi Dirac eloszlási probléma
Ez az egész Fermi Dirac disztribúció . A fenti információkból végül arra következtethetünk, hogy egy rendszer makroszkopikus tulajdonságai kiszámíthatók egy Fermi-Dirac függvény segítségével. A Fermi-energia megismerésére nulla és véges hőmérsékleti esetekben egyaránt használják. Válaszoljunk egy kérdésre számítások nélkül, a Fermi-Dirac eloszlás megértése alapján. Az E energiaszintnél, 0,25e.V a Fermi szint alatt és az abszolút hőmérséklet feletti hőmérsékletnél, a Fermi eloszlási görbe 0 felé csökken vagy 1 felé növekszik?
